极限计算的高阶算法

上节由极限的定义出发推导了极限的基础运算,可以解决部分极限的求解问题.但是有些复杂的极限还是不容易求解,还需要一些更高阶的算法来指导计算,本节就来总结下还有哪些极限求解的屠龙技.

夹逼定理

1. 定理内容

1, 若在局部范围内,满足G(x)<=f(x)<=L(x)  
2, limG(x)=L, limL(x)=L  
3, 那么limf(x)=L

利用极限的定义可以推导出这个定理

2. 定理的应用

当一个函数的极限直接求解比较困难时,可以通过缩放找到两个边界函数,当这两个边界函数的极限值相同时,就可得到复杂函数极限了,是一种间接求解极限的方法

复合函数的极限求解

1. 复合函数极限求解定理

1, 在局部范围内,limf(u)=L  
2, 在局部范围内,limg(x)=u0  
3, 存在u0的去心领域内,使得g(x)在f(u)局部区域内有定义  
4, 同时g(x)在u0处无定义  
5, 则limf(g(x))=L

2. 定理解析

复合函数的极限求解,需要满足上述四个条件,才能得出复合函数的极限.

条件1说明的是在局部区域内,以任意方式趋近 , 极限都存在

条件2指的是按照g(x)函数表达的方式趋近

条件3指的是能找出一个局部区域使得g(x)在f(u)内有定义, 反面例子就是“震荡函数”找不到一个局部区域使得所有点都能在f(u)的去心领域中有定义

条件4指的是g(x)在u_0处无定义, 若有定义的话,存在跳跃点的场景下,极限也可能不存在

单调有界函数必有极限

1. 定理

1, 若函数是单调递增(递减)的  
2, 且函数在局部有界  
3, 则函数必有极限

2. 一个特别的极限: 欧拉数

lim(1+1/x)^x=e

e就是欧拉数,它是一个无理数,它在自然学科中有很大的意义.

首先,复利计算的极限就是e, 则复利的年化次数就是e^x指数函数

其次,自然界中像细胞分裂这种二次分裂的情况也属于e^x指数增长的规律, 因而e又被称为自然底数

无穷小的比较

1. 难解的极限问题

在求解函数的极限问题时,有一类函数的极限比较难求解,就是无穷小的商, 因而数学家们专门研究了无穷小商的性质

2. 无穷小间的关系

• • 高阶无穷小 ：若lim(g(x)/f(x))=0, 则称g(x)是f(x)的高阶无穷小, 记作O(f(x))

• • 低阶无穷小 ：若lim(g(x)/f(x))= , 则称g(x)是f(x)的低阶无穷小

• • 同阶无穷小 ：若lim(g(x)/f(x))=c, 则称g(x)是f(x)的同阶无穷小

• • k阶无穷小 ：若lim(g(x)/f(x)^k)=c, 则称g(x)是f(x)的k阶无穷小

• • 等价无穷小 ：若lim(g(x)/f(x))=1, 则称g(x) f(x)

关系解析: 无穷小指的就是与0的差值, 例如高阶无穷小就是指g(x)相比f(x)更接近0

3. 等价无穷小的定理

1, 等价无穷小的充要条件

若f(x)与g(x)是等价无穷小,则其充要条件是: f(x)=g(x)+o(g(x))

2, 等价无穷小计算极限的方法

1, 若f(x)与f1(x)是等价无穷小  
2, g(x)与g1(x)是等价无穷小  
3, 则lim(f(x)/g(x))=lim(f1(x)/g1(x))

4. 常见的等价无穷小

1, sinx与x  
2, tanx与x  
3, arcsinx与x  
4, arctanx与x  
5, ln(1+x)与x  
6, e^x-1与x  
7, 1-cosx与1/2x^2  
8, (1+x)^a-1与ax