一，柯西数列极限的问题
上一节柯西大神将“线性近似”的过程通过数学语言定义了出来，其中关于最终极限的定义，他是这样描述的：
若某数列无限接近于某实数，与某实数的差值可以无限小，则称该实数为数列的极限
从这个定义中，我们还是无法知道怎么去求一个数列的极限。根本原因还是因为这个定义不够清晰，因而需要针对极限一个更精确的定义。
二，魏尔斯特拉斯极限定义
经过了一段时间的发展，有位大数学家魏尔斯特拉斯在巨人的肩膀上又前进了一步，他用数学语言精准地定义了极限这个概念。
先来捋一下他的定义思路，若要说一个数列无限接近一个实数，也就是与这个实数的差值会无限小，到底能有多小呢？能小于1吗？能小于0.5吗？依次将差值逐渐减小，是不是都能找到数列中有值满足这个条件？从这个角度出发，得到了数列极限的精确定义
对于一个数列 ， 若对于 ， , 当n>N时，满足 ，则称L为 的极限
也就是说对于给定一个差值，总能找到无穷个值在2倍差值内，有限个值在范围外，此时就称这个数列有极限。
三，根据极限定义来求解极限
上述的极限定义给出了极限的计算方法，总结下来是三步走：猜测，验证，得出结论。
具体来说就是：先通过观察数列 的通项公式，找出规律，然后由规律猜测一个极限值后，通过极限定义中的方法去不断验证，最终证实猜测值确实是极限值
四，极限定义的推广
有了数列极限的定义后，更为常用的是函数极限。仿照数列极限的定义，也可以定义出函数极限。
函数因为是连续的，它的极限分为两种：趋近于某点的函数极限以及趋近于无穷的函数极限。
趋近于某点的函数极限
对于函数f(x), 若对于 ， , 使的 时，满足 , 则称L为f(x)趋近于 的极限
从左右不同方向来趋近时，会有左极限与右极限的定义
趋近于无穷的函数极限
对于函数f(x), 若对于 ， , 当 时，满足 ， 则称L是f(x)趋于无穷的极限
趋近无穷的函数极限也分为趋于正无穷与趋于负无穷
总结
通过将“线性近似”这一概念不断地去深究，逐渐用数学的语言将它的逼近“过程”，“极限”这两个重要概念描述出来，也就是进行了数学化。从这之后，这为求解极限奠定了基础，给我们提供了一个支点，可以逐渐撬起微积分这门学科，看出它的庐山真面目。