一，极限的性质

在上一节中得到了极限精确的数学定义后，接着就可在此基础之上研究极限的性质了。通过极限的数学定义，可以证明得到极限的以下性质：

有了这几个性质，可以通过它的逆反命题来证明极限是否存在的问题

二，海涅定理

在极限的性质中，还有一个特殊的性质，它描述了以任意一种离散方式趋近局部时的极限与函数极限的关系，具体如下：

海涅定理：

**对于f(x)定义域内的任意x， 若满足 且 ， **

其中 是个重要条件

通过海涅定理，若x自变量范围内找到不同的子数列对应的极限值不同，则在同一个局部，整个函数的极限也就不存在。它也可以用来证明极限的存在性。

三，特殊的极限：无穷小

在有了极限的定义后，接来下要解决的一个重要问题是：极限的计算。在研究极限的计算方法前，需要先研究一个特殊的极限--无穷小

无穷小的定义：

在局部区域内，若 , 则称f(x)在局部区域内是无穷小

无穷小的几何意义：

无穷小的反面就是无穷大，也就是没有极限。在局部无穷大的图像有三种：同上，同下，上下。

无穷小与无穷大互为倒数，这也能帮助我们证明某些情况下极限是否存在的问题

四，极限的运算法则

有了无穷小的前置概念，可以先得到关于无穷小的计算法则。

再由无穷小的计算法则，可以推导出极限的四则运算法则。

特别地：多项式的除法可以根据分子与分母最高项的比较，得到无穷小，常数与无穷大三种情况。

五，总结

有了极限的清晰定义，在此基础上推导得出了一些求极限的算法，进而看到了1生2，2生3，3生万物的变化，微积分大厦有了地基后，开始发芽成长起来。