一，线性近似问题的由来
微积分这座数学大厦建造的过程主要是为了回答好一个问题：什么是线性近似？线性近似是从何而来呢？这还要从第二次数学危机说起。
在开普勒的时代，他提出了著名的日心说理论，其中有一个理论是说：在相同时间内，地球绕太阳扫过的面积是相等的。由于在一定时间范围内地球绕太阳扫过的平面是不规则形状的，这时就需要能够计算这种曲面的面积。但是曲面要如何计算面积呢？我们会计算面积的图形只有一些规则的平面，像矩形，三角形的面积，那么可以将曲面切分成一个个小矩形，这样就可以通过小矩形面积之和来近似得到曲面的面积。
在切分过程中，人们发现，小矩形划分得越小，其面积之和就越接近真实曲面的面积。那么这时就诞生了一个猜想：若将小矩形划分得无限小，它们的面积之和就等于曲面之和。
这个猜想引起了一位主教大人的挑战：这个最小的矩形到底是什么？
由这个猜想，可以得到小矩形的几个性质：
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小矩形的面积不能为0，否则它们的和也是0
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假设小矩形的边长为a，那么总能找到边长a/2的小矩形，面积比它还小
由这两点来看，这个小矩形根本无法找出来，这成为了数学上的第二次大危机。
二，柯西的线性逼近过程描述
首先出场的是著名数学家柯西先生，他用数学语言第一次描述了“线性逼近的过程”，给我们带来了另一副眼镜去看待“线性逼近过程”。
柯西的思路是研究逼近过程中的每次小矩阵之和，具体如下：
假设有一个曲线在[0,1]区间内满足
先用4个小矩形来切分这个曲线，则这个曲面的近似面积可以表示为:
可表示为:
再切分为8个小矩形，则近似面积又可表示为：
继续将切分的小矩形一步步变小，可以得到一组以线性近似面积组成的数列
这个数列的特点是：
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每一项都满足一个通用的公式
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它是无穷数列，每一项都表示一次小矩形切分曲面的情况，这个集合就表示了线性逼近的过程
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曲面的面积也就是这个数列的极限 曲
柯西用数学语言也就是无穷数列描述出了线性逼近的"过程"，而且使用了数列的极限来表示曲面面积。这种数学描述把我们对于曲面的线性近似问题不再去深究最小矩形是什么的难题，而是转而去考察这种数列极限是什么？视角的转换，使我们在山重水复疑无路时，看到了柳暗花明又一村。
柯西这位大神，给我们在“第二次数学迷雾”中找到了一个突破口，后面会沿着这条路继续去定义线性近似中的各种概念。