有了微分与导数的概念后,数学家们透过这个新的概念去研究他们与函数的关系,又再次发现一些有趣的定理.让我们继续梳理下这些关系.
闭区间端点连线与导数关系
在一段闭区间内连续可导的函数,它的端点连线的斜率与这一区间内的某点切线平行,这个发现需要归功于数学家们发现的“微分中值三大定理”.
罗尔微分中值定理
1) f(x)在[a,b]连续
2) f(x)在(a,b)可导
3) f(a)=f(b)
则在(a,b)存在一点X0, 使得f'(x0)=0
这个中值定理描述的是(a,b)区间内至少有一点的切线为水平线
拉格朗日微分中值定理
1) f(x)在[a,b]连续
2) f(x)在(a,b)可导
则在(a,b)存在一点X0, 使得f'(x0)=(f(b)-f(a))/(b-a)
拉格朗日中值定理描述的是(a,b)区间内至少有一点的切线平行于a,b连线
柯西中值定理
若函数由参数方程描述,它的中值定理可由柯西中值定理来描述
定理1
1) f(x),g(x)在[a,b]连续
2) f(x), g(x)在(a,b)可导
则在(a,b)存在一点X0, 使得(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))*g'(x0)=f'(x0)
定理2
1) f(x),g(x)在[a,b]连续
2) f(x), g(x)在(a,b)可导
3) g'(x)在(a,b)不为0
则在(a,b)存在一点X0, 使得(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f'(x0)/g'(x0)
洛必达法则
有了三大中值定理后, 关于未定式(0/0, )的极限求解,又有了更简单的方法,就是洛必达法则.
洛必达法则的较弱形式
1) f(x0)=g(x0)=0
2) f'(x0)与g'(x0)都存在,且g'(x0)!=0
则 lim_(x->x0)(f(x)/g(x))=lim(f'(x0)/g'(x0))
洛必达法则的强化形式
1) limf(x0)=limg(x0)=0
2) x在x0的去心邻域内,f'(x)与g'(x)都存在,且g'(x)!=0
3) lim(f'(x)/g'(x))存在或为无穷大
则 lim_(x->x0)(f(x)/g(x))=lim(f'(x)/g'(x))
强化形式可推广到 与趋于无穷的极限上
洛必达法则不适用的场景
-
• 越求导越复杂
-
• 无限循环
-
• 算不出来的极限(可能实际不满足条件3)
泰勒公式
曲线某点可以用直线来进行线性近似,还可以用多项式来近似,它能更好地拟合曲线.
泰勒公式
1) 若f(x)在x0的邻域内具有n阶导数,那么存在x0的一个邻域,对于该邻域内任一个x有:
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+...+f^n(x0)/n!*(x-x0)^n+O((x-x0)^n)
前面的多项式被称为“泰勒多项式”, 最后一项被称为“余项”, 皮亚诺余项
泰勒公式的系数可由洛必达法则求出
麦克劳林公式
1) 若f(x)在x0的邻域内具有n阶导数
2) x0=0
那么可得:
f(x)=f(0)+f'(0)(x)+f''(0)/2!*x^2+...+f^n(0)/n!*x^n+O(x^n)
泰勒公式之拉格朗日余项
1) 若f(x)在x0的邻域内具有n+1阶导数,那么存在x0的一个邻域,对于该邻域内任一个x有:
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+...+f^n(x0)/n!*(x-x0)^n+f^(n+1)(\epislon)/(\epislon+1)!*(x-x0)^(n+1)
函数的单调性,凹凸性与导数的关系
函数的单调性与导数的关系
1) f(x)在[a,b]连续
2) f(x)在(a,b)可导
3) 若在(a,b)内 f'(x)>=0 ,且仅在有限个点上=0,那么f(x)在[a,b]范围内是严格单调递增函数
4) 若在(a,b)内 f'(x)<=0 ,且仅在有限个点上=0,那么f(x)在[a,b]范围内是严格单调递减函数
函数的凹凸性与导数的关系
1) f(x)在[a,b]连续
2) 若对于在[a,b]内的任意x1,x2, 有f((x1+x2)/2)<(f(x1)+f(x2))/2, 则称此函数为凹函数
3) 若对于在[a,b]内的任意x1,x2, 有f((x1+x2)/2)>(f(x1)+f(x2))/2, 则称此函数为凸函数
1) f(x)在[a,b]连续
2) f(x)在(a,b)内具有1阶,2阶导数
3) 若在(a,b)内f''(x)>0, 那么f(x)在[a,b]内为凹函数
4) 若在(a,b)内f''(x)<0, 那么f(x)在[a,b]内为凸函数
函数的极值,最值与导数的关系
费马引理
费马引理描述的是极值的必要条件
1) f(x)在x0处可导
2) f(x)在x0处取得极值
那么f'(x0)=0
极值的充分条件
条件1
1) f(x)在x0处连续
2) f(x)在x0的去心邻域内可导
3) 则在(x0-\delta, x0)内有f'(x)>0,在(x0, x0+\delta)内有f'(x)<0,则f(x0)是f(x)的一个严格极大值
4) 则在(x0-\delta, x0)内有f'(x)<0,在(x0, x0+\delta)内有f'(x)>0,则f(x0)是f(x)的一个严格极小值
5) 若在邻域范围内,f'(x)符号不变,则f(x)在x0处没有严格极值
条件2
1) f(x)在x0处二阶可导
2) f'(x0)=0, 当
3) f''(x0)>0时,f(x0)是f(x)的一个严格极小值
4) f''(x0)<0时,f(x0)是f(x)的一个严格极大值
总结
函数的单调性,凹凸性,极值都与导数有关系,通过新的概念(导数), 有了描述函数性质的新视角