在极限相关概念介绍的篇幅中，针对曲面梯形的求解，使用了小矩形面积之和的思想来进行线性近似。但在用这个方法实操求解时，会发现它的求解方法非常复杂。因而数学家就在思索有没有更简单的“线性近似”的求解方法呢？在将视角转移到求解曲线的“线性近似”线上时，一个关键的事物被发现了，那就是微分。下面详细介绍下微分相关的概念与计算方法。
微分的定义
当数学家们开始去寻找曲线的线性近似物时，他们找到了“微分”这条近似的切线。先来看“微分”的定义：
**设函数f(x)在 的邻域内有定义，在 及 范围内，函数f(x)的增量 , 可以表示为 则 将 称 为 微 分 **
在这个定义中表达了三个含义：
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• 是曲线的增量
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• dy是 处的切线
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• 曲线的增量与微分的差值是x差值的高阶无穷小
通过在切点 处建立新的坐标系，可以发现dy就是过原点的直线表达式。在切点处对曲线的最佳线性近似就是“微分”
注 ：切点处的非切线被称为割线，可以证明它们与切点处的曲线的差值是同阶无穷小，并非最佳的线性近似直线
微分的求解--导数
1. 导数的定义
要求微分 ， 也就是要求出系数A， 通过对 两边求取极限，可以得到A的计算方法：
**设函数f(x)在 的邻域内有定义，当x在 处取的增量 时，相应地因变量的增量 ， 若 存 在 ， 则称这个极限为f(x)在
处的导数，并记为 **
求出导数，即可找到某点处曲线的线性近似直线
2. 导数的意义
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• 导数在几何上表示切线的斜率
-
• 导数还表示切点处的变化率 (物理上的瞬时速度，物体密度等)
3. 可导与连续的关系
1，可导一定连续，但连续不一定可导
2，可导的充要条件是左右导数都存在且相等
4. 导函数定义
若f(x)在开区间内处处可导，则由其导数构成的函数被称为导函数。
导数的四则运算与初等函数的导数
1. 导数的四则运算规则
1，
2，
3，
2. 初等函数的导数
1， 常数的导数是0
2，幂函数
3，三角函数的导数：
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4，反三角函数导数：
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5，指数函数导数:
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6，对数函数导数：
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•
-
•
复合函数与反函数的导数
1. 复合函数的导数
- • 链式反应
2. 反函数的导数
- •
隐函数与参数方程的导数，高阶导数
1. 隐函数的导数
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• 隐函数是指满足f(x, y)=0的表达式的函数， y一般不容易转化为y=f(x)的形式
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• 隐函数的求导，需要对f(x,y)=0两边都对x取导数，应用复合函数的链式反应，并结合隐函数表达式求出导数
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• 对于复杂的显函数，也可用对数求导法，对方程两边先取对数，再求导的方法简化求导过程
2. 参数方程的求导
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• 对于参数方程的求导，可以看作是复合函数的求导
-
• 形如x=x(t),y=y(t)的参数方程组，
3. 高阶导数
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• 二阶导数
-
• 高阶导数
总结
由找曲面面积的近似转换为找曲线的近似，发现了微分的概念，并有了导数的定义。多一个视角去看待同一个问题，往往能找到更简单地解决问题的方法。