在有了极限的定义后，对于函数的理解有了一个新的切入点。从新的视角看函数，对于“连续”的概念也理解得更深入了。
函数的连续性
1. 函数在一点的连续性
从图形上观察连续函数，表面上看就是一笔画成，不会中断。使用数学语言来描述的话，可以这样来定义：
**y=f(x)在 的领域内有定义，若满足 ，则称f(x)在 点连续 **
这个定义还有一个等价定义
**y=f(x)在 的领域内有定义，若满足 ，则称f(x)在 点连续 **
函数在某点处连续，在二维平面内其实包含两个方向的连续性， 左连续和右连续。左右连续的定义是：
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• **若 , 则称f(x)在 左连续 **
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• **若 , 则称f(x)在 右连续 **
因而连续的充要条件为：
**f(x)在 处连续， 等价于f(x)在 处左连续且右连续 **
2. 函数在区间内的连续性
在区间上的每一点都连续的函数，叫做在区间上的连续函数， 若区间包含端点，则端点处为单边连续
函数的间断点与渐近线
1. 间断点
讨论了函数的连续性后，就可以继续考察它的反面，间断点（也就是不连续点），间断点出现的原因有三个，它们分别是：
1. f(x)在X0无定义
2. f(x)在X0有定义，但极限不存在
3. f(x)在X0有定义，且有极限，但极限不等于f(X0)
间断点有两种分类方法，一种是根据图形，可将间断点分为四个：
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• 可去间断点
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• 震荡间断点
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• 跳跃间断点
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• 无穷间断点
另一种是依据极限是否存在的分类， 可分为两类：
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• f(x)在X0的左极限与右极限都存在的间断点叫做一类间断点
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• 其余情况都称为二类间断点
2. 渐近线
有了极限后， 函数的图形也可根据渐近线来侧面描述它。有三类渐近线，下面来一个个地认识它们
1. 水平渐近线
它指的是x趋近于无穷时的极限， 图形是水平横线。具体数学定义是：
**若 ， 则称L是f(x)的水平渐近线 **
2. 铅直渐近线
它指的是函数在某些间断点处的渐近线，图形是竖直线，具体数学定义是：
**若 , 则称x= 为f(x)的铅直渐近线 **
3. 斜渐近线
斜渐近线与水平渐近线一般不同时存在，斜渐近线是斜线，具体数学定义是：
**若 , 则称直线y=ax+b是f(x)的斜渐近线 **
有了连续性，间断点与渐近线，我们就可大致描绘出函数的图形了
初等函数的连续性
1. 初等函数的连续性
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• 连续函数的加，减，乘，除得到的函数也是连续函数
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• 初等函数在自定义区域内都是连续的
2. 反函数的连续性
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• 只有严格单调函数有反函数
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• 连续函数反函数也是连续的
3. 复合函数的连续性
复合函数的连续性有两种描述
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• f[g(x)]在 的去心领域有定义，且 , 若f(u)在 连续，则 , f[g(x)]在 连续
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• f[g(x)]在 的非去心领域有定义，且 , 若f(u)在 连续，则 ，f[g(x)]在 连续
闭区间连续函数的性质
在对闭区间内的连续函数深入研究后，发现它有一些性质非常有意思，现在具体描述下它的性质。
1. 闭区间连续函数的最值
闭区间上的连续函数有界且有最大值和最小值
在闭区间上需要区分最值与极值的概念，最值是全局概念，极值是局部概念，是领域内的最值
2. 零点定律
- 在闭区间内的连续函数f(x), 若在端点a，b处异号， 即f(a) f(b)<0, 则至少存在一点 , 使得
3. 介值定律
**在闭区间内的连续函数f(x), 对于f(a),f(b)范围内任意一点c, 则至少存在一点 , 使得 **
介值定律的推论
闭区间内的连续函数f(x)的值域范围是（m,M）, m是闭区间内的极小值，M是闭区间内的极大值
总结
极限定义，从本质上来说就是差值的数学描述方法，通过它，得以通过差值来描述函数的连续性，继而由正面连续性与反面间断点，以及渐近线，可以知道函数图像的大致范围。对于闭区间内的连续函数，它有些更独特的特性，可以取得闭区间内最小值与最大值之间的任意值，这也符合图像带给人们的直观认知。
通过极限与连续性，使得对曲线的认知更加深入了。